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\setlength{\parindent}{0em}

\date{}

%--------------------------------

%Hier ist Platz für eigene Befehle. Einige sind schon vorgegeben.
\newcommand{\brackets}[1]{\left(#1\right)}
\newcommand{\setbr}[1]{\left\{#1\right\}}
\newcommand{\lpow}[1]{\!\left(\!\left(#1\right)\!\right)}
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\begin{document} 
	\enlargethispage{\baselineskip}
	
	\vspace{-3.5cm}
	
	\small \vspace{-1mm} Prof.\ Dr.\ Salma Kuhlmann,\hfill Universität Konstanz\\ Dr.\ Lothar Sebastian Krapp,\hfill Fachbereich Mathematik und Statistik \\ Michele Serra, Sarah Tanja Hess \hfill Sommersemester~2021
	
	\hrulefill

	
	\begin{center}
		\bfseries \small Übungen zur Vorlesung Algebra II \\
		\normalsize Blatt 5 \\
	\end{center}
	
	\noindent\textbf{Abgabe von:} Mein Name
	\\
	\noindent\textbf{Tutor:} Mein Lieblingstutor
	%Hier eigenen Namen und Tutor/Tutorin eintragen.
	
	\vspace{-1.36cm}
	
	\begin{flushright}
		\begin{tabular}{|c|c|c|c||c|}
			\hline
			1&2&3&4&$\Sigma$\\\hline
			{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 1
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 2
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 3
			}
			&{\color{red}			
			%Punktzahl Aufgabe 4
			}
			&{\color{red}
			%Gesamtpunktzahl
			}
			\\
			\hline
			
			%Nach Korrektur werden hier die Punktzahlen eingetragen.
	\end{tabular}
	\end{flushright}
	
	\textbf{Allgemeiner Hinweis:} Für die Bearbeitung werden alle Resultate bis einschließlich Vorlesung~9 vorausgesetzt.
	 Freiwillige Zusatzaufgaben sind mit einem * gekennzeichnet. Alle Aussagen sind stets zu beweisen.
	\\
	
	\textbf{Aufgabe 5.1} \hfill 	\textbf{[3 + 1 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sei $R$ ein faktorieller Ring, $K:=\mathrm{Quot}(R)$ der Quotientenkörper von $R$, $L/K$ eine Körpererweiter\-ung von $K$ und $\alpha\in L$ algebraisch über $K$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass $\alpha$ genau dann ganz über $R$ ist, wenn das Minimalpolynom von $\alpha$ über $K$ bereits in $R[X]$ liegt.
		\item Folgern Sie, dass ein $\beta\in K$ genau dann ganz über $R$ ist, wenn $\beta\in R$ gilt.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} 
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 5.2} \hfill 	\textbf{[1+1+2 Punkte]}
	\\[3pt] Sei $B$ ein kommutativer Ring mit $1$, $A$ ein Unterring von $B$ sodass $B$ ganz über $A$ ist, $\mathfrak{b}$ ein Ideal von $B$ und $\mathfrak{a}:=\mathfrak{b}\cap A$. Bemerken Sie zunächst, dass $\mathfrak{a}$ ein Ideal von $A$ ist. 
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass $B/\mathfrak{b}$ ganz über $A/\mathfrak{a}$ ist.
	\end{enumerate}
	Sei nun $S$ eine multiplikative Teilmenge von $A$ mit $0\not\in S$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Zeigen Sie, dass $S^{-1}B$ ganz über $S^{-1}A$ ist.
	\end{enumerate}
	Seien nun noch $A,B$ integer und $A$ ganz abgeschlossen.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\setcounter{enumi}{2}
		\item Zeigen Sie, dass $S^{-1}A$ ganz abgeschlossen ist.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:} 
	
	\
	
	\textbf{Aufgabe 5.3} \hfill 	\textbf{[2+2 Punkte]}
	\\[3pt]
	Sei $B$ ein Integritätsbereich und $A$ ein integer Unterring von $B$ sodass $B$ ganz über $A$ ist.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Beweisen Sie, dass $B$ genau dann ein Körper ist, wenn $A$ ein Körper ist.
	\end{enumerate}
	Sei nun $\mathfrak{q}$ ein Primideal von $B$ und $\mathfrak{p}:=\mathfrak{q}\cap A$. Bemerken Sie zunächst, dass $\mathfrak{p}$ ein Primideal von $A$ ist.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Zeigen Sie, dass $\mathfrak{q}$ genau dann ein maximales Ideal von $B$ ist, wenn $\mathfrak{p}$ ein maximales Ideal von $A$ ist.
	\end{enumerate}

	\textbf{Lösung:}	
	
	\
	
	\newpage
	\noindent\rule[1ex]{\textwidth}{1pt}
	
	\textbf{Definition} \\
	Sei $R$ ein kommutativer Ring mit $1$ und $n\in\N$. 
	\begin{enumerate}[(i)]
		\item Ein \textit{symmetrisches Polynom} $p\in R[X_1,\ldots,X_n]$ erfüllt für jede Permutationen $\sigma\in S_n$ die Bedingung
				$p\left(X_{\sigma(1)},\ldots,X_{\sigma(n)}\right)=p(X_1,\ldots,X_n).$
		\item Die \textit{elementarsymmetrische Polynom} von $R[X_1,\ldots,X_n]$ entsprechen $$s_0(X_1,\ldots,X_n):\equiv 1$$ und 
				$$s_k(X_1,\ldots,X_n):=\sum\limits_{1\leq i_1 < \ldots < i_k \leq n} X_{i_1}\cdot\ldots\cdot X_{i_k}\in R[X_1,\ldots,X_n]$$ mit $k\in\{1,\ldots,n\}$.
	\end{enumerate}
	
	\noindent\rule[1ex]{\textwidth}{1pt} \\
	
	\textbf{Aufgabe 5.4*} \hfill 	\textbf{[1+2+1 Punkte]}	
	\\[3pt]
	Sei $R$ ein kommutativer Ring mit $1$ und $n\in\N$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\item Zeigen Sie, dass jedes elementarsymmetrische Polynom von $R[X_1,\ldots,X_n]$ ein symmetrisches Polynom ist.
	\end{enumerate}
	Sei nun $R$ insbesondere ein Integritätsbereich, $K:=\mathrm{Quot}(R)$ der Quotientenkörper von $R$, $f\in R[X]$ ein normiertes Polynom, $L/K$ ein Zerfällungskörper von $f$ und $\alpha_1,\ldots,\alpha_m\in L$ mit $m\in\N_{\leq deg(f)}$ alle Nullstellen von $f$.
	\begin{enumerate}[(a)]
		\setcounter{enumi}{1}
		\item Zeigen Sie, dass die Koeffizienten von $f$ bis auf Vorzeichen durch elementarsymmetrische Polynome von $R[X_1,\ldots,X_m]$ in den Nullstellen $\alpha_1,\ldots,\alpha_m\in L$ von $f$ gegeben sind.
		\item Erläutern Sie den Wahrheitsgehalt der Aussage aus Teilaufgabe (b) anhand des Polynoms $f(X)=X^4+2X^3-16X^2-2X+15\in\Z[X]$.
	\end{enumerate}
	
	\textbf{Lösung:}
	
	\
	
	\vfill
	\textbf{Abgabe:} Bis \textbf{Donnerstag, den 27.\ Mai 2021, um 10:00 Uhr}, direkt an den Tutor. Wir bitten die allgemeinen Hinweise zur Abgabe von Lösungen (siehe Homepage) zu beachten.
	
\end{document}